회귀 분석

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작성자
익명
작성일
2025.09.22
조회수
2
버전
v1
수학 → 통계 → 회귀분석
회귀 분석 선형 회귀 다중 회귀 로지스틱 회귀 통계 모델링

회귀 분석## 개요

회귀 분석( Analysis)은 통계학에서 두 이상의 변수 간의 관계를 모델링하고 분석하는 대표적인 기법이다 주로 하나의종속 변수(응 변수, dependent variable와 하나 이상의독립 변수**(설 변수, independent variable 사이의 인과 관계 또는 상관 관를 수학적으로 표현하여, 독립 변수의 변화가 종속 변수에 어떤 영향을 미는지를 파악 데 사용된다.

회귀 분석은 경학, 사회과학 의학, 공학 기계학습 등 다양한 분야에서 예측 모델링, 추정, 정책 분석 등에 널리 활용된다. 예를 들어, "광고비 증가가 매출에 어떤 영향을 미치는가?" 또는 "학생의 공부 시간이 시험 점수에 어떤 영향을 주는가?"와 같은 질문에 답할 수 있다.

회귀 분석의 목적

회귀 분석의 주요 목적은 다음과 같다:

  1. 관계 파악: 독립 변수와 종속 변수 사이의 관계의 형태와 강도를 이해한다.
  2. 예측: 주어진 독립 변수 값을 바탕으로 종속 변수의 값을 예측한다.
  3. 추정: 변수 간의 인과 효과를 통계적으로 추정한다.
  4. 모델 검정: 모델이 데이터에 얼마나 잘 적합하는지를 평가한다.

회귀 분석의 종류

회귀 분석은 변수의 수와 관계의 형태에 따라 여러 유형으로 나뉜다.

1. 단순 선형 회귀 (Simple Linear Regression)

  • 하나의 독립 변수와 하나의 종속 변수 사이의 선형 관계를 모델링한다.
  • 모델 형태:
    $$ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon $$
  • $Y$: 종속 변수
  • $X$: 독립 변수
  • $\beta_0$: 절편 (intercept)
  • $\beta_1$: 기울기 (회귀 계수)
  • $\epsilon$: 오차 항 (error term)

예: 키(X)와 체중(Y)의 관계 분석

2. 다중 선형 회귀 (Multiple Linear Regression)

  • 두 개 이상의 독립 변수를 사용하여 종속 변수를 설명한다.
  • 모델 형태:
    $$ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_p X_p + \epsilon $$
  • 변수 간의 상호작용, 다중공선성(multicollinearity) 등의 문제가 고려되어야 한다.

예: 집값(Y)을 방 수, 면적, 위치 등 여러 변수로 예측

3. 비선형 회귀 (Nonlinear Regression)

  • 변수 간의 관계가 선형이 아닌 경우 사용.
  • 지수 함수, 로그 함수, 다항식 등 다양한 형태 가능.
  • 예: 생물학적 성장 모델, 방사성 붕괴 모델

4. 로지스틱 회귀 (Logistic Regression)

  • 종속 변수가 범주형(특히 이진 변수, 예: 0/1, 성공/실패)일 때 사용.
  • 로지스틱 함수를 이용해 확률을 예측.
  • 주로 분류 문제에 활용되며, 기계학습에서도 널리 사용된다.

회귀 모델의 적합과 평가

회귀 분석 후 모델의 성능을 평가하는 것이 중요하다. 주요 평가 지표는 다음과 같다:

지표 설명
결정계수 $R^2$ 모델이 종속 변수의 변동을 얼마나 설명하는지를 나타냄. 0~1 사이 값. 높을수록 좋은 적합도
조정 결정계수 $R^2_{\text{adj}}$ 변수 수를 고려하여 조정한 $R^2$. 다중 회귀에서 유용
RMSE (Root Mean Square Error) 예측값과 실제값의 차이의 제곱 평균의 제곱근. 작을수록 정확
잔차 분석 오차 항이 정규분포를 따르고, 독립적이며 등분산성을 가지는지 확인

또한, 회귀 계수의 통계적 유의성을 검정하기 위해 t-검정, F-검정을 사용한다.

가정 조건

선형 회귀 분석은 다음의 주요 가정을 만족해야 신뢰할 수 있는 결과를 얻을 수 있다:

  1. 선형성: 독립 변수와 종속 변수 간의 관계는 선형이다.
  2. 독립성: 잔차는 서로 독립적이다 (자기상관 없음).
  3. 등분산성(Homoscedasticity): 잔차의 분산이 일정하다.
  4. 정규성: 오차 항은 정규분포를 따른다.
  5. 다중공선성 없음: 독립 변수들 간에 높은 상관이 없어야 한다.

이러한 가정은 잔차 플롯, Q-Q 플롯, VIF(분산 팽창 지수) 등을 통해 진단할 수 있다.

활용 사례

  • 경제학: 소비와 소득의 관계 분석
  • 의학: 약물 복용량과 치료 효과의 관계
  • 마케팅: 광고 지출과 매출의 관계 예측
  • 기계학습: 선형 회귀는 지도 학습의 기초 모델로 사용

참고 자료 및 관련 문서

회귀 분석은 데이터 기반 의사결정의 핵심 도구이며, 올바른 해석과 가정 검토를 통해 신뢰할 수 있는 통계적 인사이트를 도출할 수 있다.

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